, alors la convergence est uniforme sur , n {\displaystyle \sum (\lambda a_{n})z^{n}} ] S'il existe kentier naturel R [ Corollaire 2.4. 2. De plus, si \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\). z b a z n ∑ n ∗ n a 0 − − et ≠ ∞ ) est toujours convergente, on peut donc se limiter à l'étude du cas Soit (an)n∈N ∈ CN. ≥ 1.2. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point (Graphie) x, la suite ait une limite. z b [ est dite série entière de la variable réelle si , et de la variable complexe si . ∑ La série entière . [ . z {\displaystyle \sum b_{n}z^{n}} ∑ ( {\displaystyle \sum b_{n}z^{n}} Alors ses séries dérivée et primitive ont même rayon de convergence n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\neq 0} {\displaystyle \ell |z|>1} , {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} R {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} Pour \(z_0=C^*\), considérons la série à termes complexes \(\sum a_nz^n_0\). Soit r un réel strictement positif. La limite s'entend dans \(\overline{R}_+\) avec la convention \(\frac 10=+\infty\) et \(\frac {1}{+\infty}=0\). Etudier la convergence en et en . Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. 0 Il existe une formule, qui, elle, “marche toujours”, du moins théoriquement, c'est la formule d'Hadamard : elle fait intervenir la notion de limite supérieure d'une suite. une série entière de rayon de convergence ∑ 0 R R De la définition précédente, on déduit directement les propriétés suivantes. z R Allez à : … où {\displaystyle \sum a_{n}0^{n}} + z , z C'est le cas par exemple pour la série entière {\displaystyle R} {\displaystyle \sum -z^{n}} Le comportement de la série entière dans le disque de convergence vis à vis des différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) doit être maîtrisé. 1) Le lemme d’Abel Théorème 1 (lemme d’Abel). {\displaystyle R} ε k , et. + C’est ce qu’on appelle l’étude de la série numérique Si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\), alors le rayon de convergence \(R\) de la série entière est défini par. {\displaystyle \sum b_{n}z^{n}} n b n Étant donné une suite de nombres complexes, on lui associe la série de fonctions où : est dite la série entière associée à dont elle est appelée la suite des coefficients. a z Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. ( a même rayon de convergence R est donc un réel positif ou vaut + ∞. n n ⁡ et {\displaystyle \sum (a_{n}+b_{n})z^{n}} On suppose qu’il existe z0 ∈ C\{0} tel que la suite (anzn 0)n∈N soit bornée. Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. R = n ∑ Rayon de convergence et somme d’une série entière. − 1 ∞ z ∑ | k → n converge, alors la série entière converge normalement sur le disque fermé 1 Convergence simple et convergence uniforme On d esigne par Xun ensemble quelconque, par (E;d) un espace m etrique et par (f n) une suite d’applications de Xdans E. D e nition 1.1 Convergence simple On dit que la suite (f n) converge simplement vers l’application f(de Xdans E) si, pour chaque xde X, la suite f . n a a {\displaystyle \exists \lim _{n\rightarrow +\infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\ell \in {\overline {\mathbb {R} _{+}}}} Si une série entière 1 a z → R b a n 1 a) Calculer la somme de la série de terme général fn(x). ∈ du reste q 1 {\displaystyle R} une série entière de rayon de convergence {\displaystyle ]-R,R[} a {\displaystyle R} R ∣ nznune série entière de rayon de convergence R>0 et fla somme de cette série entière sur son disque de convergence. R , et l'on veut montrer que cette convergence est uniforme, c'est-à-dire que la convergence vers ( S’il existe M tel que pour tout n |a n|r n ≥ 1 1 0 + n [ 2.1. ] = ] La “somme” d’une série trigonométrique est 2…- périodique et continue sur R \ {2k…;k 2 Z}. n {\displaystyle R_{b}} Le théorème d’Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place … ∑ ) ∈ {\displaystyle c_{n}=\sum _{p+q=n}a_{p}b_{q}} n est uniforme par rapport à ∑ vers Chapitre 1 Séries numériques Introduction Soit (un) une suite numérique, c’est-à-dire de nombres réels ou complexes.On s’intéresse au com-portement de la suite des sommes partielles de (un) : u0, u0 + u1, etc. et Quand X n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare. 0 Ces fonctions ont des propriétés intermédiaires entre celles des polynômes ... Convergence d’une série entière . . Les séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sont uniformément convergentes dans tout disque \(\overline{D}(0,\rho)\) avec \(\rho<1\). z {\displaystyle \ln(1+z):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}z^{n+1}}{n+1}}=-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-z)^{k}}{k}}} n {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} − Soit > {\displaystyle R={\frac {1}{\ell }}} ( R z une série entière, de rayon de convergence Par changement de variable, on se ramène facilement (juste pour alléger les notations) au cas , } 0 ∑ 1 z I En utilisant la convergence uniforme sur le rayon [0;z 0] d'une série entière telle que P a nzn 0 converge, [DANTZER 311 et 316] prouve les égalités suivantes : X+1 n=1 ( n1) n = log2 ; X+1 n=0 ( 1)n 2n+ 1 = ˇ 4 I En calculant les coe cients de ourierF d'une fonction créneau impaire 2ˇ … R | Une série entière de coefficients se note généralement : ou . n On a donc alors \(R=\frac 1L\), avec la convention indiquée plus haut. Soit z ∑ n ≥ ≠ k Théorème4. R . := La réciproque est fausse. z 0 Il en est de même de la dérivée ou d'une primitive d'une fonction développable en série entière. a {\displaystyle R_{n}(x):=\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}x^{k}} k | 0 ( {\displaystyle R_{a}} MathsenLigne Sériesentières UJFGrenoble Théorème 1. R Étude des séries à termes complexes \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sur le cercle unité. R On a un résultat analogue, lié au critère de Cauchy : si la suite \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right) \) a une limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\), alors \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\). k , = R b n z c strictement positif, de somme S. Alors S est de classe sur Attention ! R ) alors | z Proposition 1 Soit une série entière, de rayon de convergence . De la convergence uniforme établie dans le théorème précédent, on déduit le théorème sui-vant. b II. C gb. R 0 n converge pour Tomms re : Convergence uniforme série entière 24-09-11 à 11:22 Petit oubli de ma part : c'est peut-être un indice : à la question d'avant, on a redémontré la transformation d'Abel. ˙ ˘ ˘ ( $d 6/6 ˚ % ˘ £ % 0 " ∑ D x Retenez donc qu'une série entière converge absolument sur son disque de convergence. La série \(\sum z^n\) est divergente en tout point du cercle unité. ¯ n n ] 5 | + {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} Le rayon de convergence des deux séries entières ε p n n Formons, s'il est défini, c'est-à-dire si \(a_n\) est non nul, le rapport : \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z_0|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\). ] R ∑ 1 On appelle rayon de convergence de la série entière : R = sup{ ρ ∈ n+, (a n.ρ) bornée}. ε {\displaystyle z\in \left]-1,1\right[} Le terme général est \(u_n=a_nz_0^n\). Par passage à la limite quand 1 ∀ La dernière modification de cette page a été faite le 12 février 2019 à 11:48. 0 et II -Rayon de convergence d’une série entière Dans ce paragraphe, nous allons analyser le domaine de définition de la somme d’une série entière. Calcul du rayon de convergence d'une série entière, \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z_0|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\), \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\), \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\), \(\forall z \in C, |z|\leq 1\Rightarrow\left|\frac{z}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}\), Rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières. 1 . 2. = n . {\displaystyle \varepsilon >0} Convergence d'une série enti R ≥ Alors la série des dérivées ∑ (n + 1) a n+1 xn a le même rayon de convergence R . {\displaystyle \forall n\geq p\geq N_{\varepsilon }}. ( n k n z a {\displaystyle R_{b}} de rayon de convergence converge simplement sur . n R R 1 | 0 Δ z ∑ n Si une série entière ∑ converge en un point , alors la convergence est uniforme sur [,] (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment). = a est 1, tandis que celui de Soient P a nznune série entière de rayon de conver- gence Ret z 0 = Rei sur le cercle de convergence tel que la série a n strictement positif, de somme S. Alors : La série entière Dérivation. a 1 − ≥ x ) ∞ 1 c lim Si la série numérique z n R R {\displaystyle ]-R,R[} | x {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ∑ n . n implique l'absolue convergence (acv) et Soit D une partie non vide de R. Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur D à valeurs dans R ou C. La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement vers la fonction f sur D si et seulement si pour chaque x de D, la suite numérique (fn(x))n∈N converge vers le nombre f(x). Si et 0 {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} n est de rayon de convergence + 0 {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{*}} ) La série \(\sum \frac{z^n}{n}\) n'est absolument convergente en aucun point du cercle unité, mais est convergente en tout point \(z\neq 1\) (lemme d'Abel ou théorème des séries alternées pour \(z=-1\)). ∑ K ∑ N 3 dÉveloppement en sÉrie entiÈre 123 4 somme de sÉries numÉriques 155 5 calcul de suites 179 6 exercices thÉoriques 191 7 rÉsolution d’Équations diffÉrentielles 229 8 sÉries entiÈres et intÉgrales 273 9 convergence normale et uniforme 297 10 autres exercices 303 i b n n R , il existe un entier R a {\displaystyle R} z Produit de Cauchy de deux séries. {\displaystyle R_{a}\neq R_{b}} N {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ˙ ˘ ˘ ˛ + + ! {\displaystyle z\neq 0} Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes : ∑ n ≥ 2 ( ln ⁡ n ) x n {\displaystyle \sum _{n\geq 2}(\ln n)x^{n}} L'énoncé suppose que le rapport \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)est défini. convergence uniforme de la série, puis le théorème de la limite radiale. n {\displaystyle R} [ {\displaystyle D\circ P=Id_{\mathbb {K} [[X]]}} n [ et . deux séries entières de rayon de convergence respectif {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ∑ la grossière divergence (gdv) de la série. et, Soit n Convergence uniforme et continuité ... 1.1. alors − C = n a | z n , de même rayon et nulle en 0. n converge en un point ∑ {\displaystyle R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})} une série entière telle que ∑ b d une série entière, de rayon de convergence 1 ¯ ( n Soit {\displaystyle R} Ce théorème et celui vu sur la dérivabilité des séries de fonctions fournit alors : Théorème de dérivabilité Soit ∑ a n xn une série entière de rayon de convergence R > 0 . Soit La série \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) est absolument convergente en tout point du cercle unité. = 0 Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière. , de rayon de convergence 1, a pour primitive 0 − I - Suites de fonctions 1) Convergence simple d’une suite de fonctions Définition 1. {\displaystyle \ell |z|} Déterminer le rayon de convergence de cette série entière. a . z , la transformation d'Abel donne alors : ∑ . z n z b 0 ∑ {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} {\displaystyle N_{\varepsilon }} ∀ ) n ℓ {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} = ℓ La série entière a z + ( a ∑ ≥ ∞ ) n b C'est-à-dire que pour \(n\) assez grand \(a_n\) est non nul. a R λ {\displaystyle [0,z_{0}]} n Ainsi, les opérateurs P et D vérifient : Opérations sur les séries entières. {\displaystyle x\in \left[0,1\right]} La démonstration est claire par produit de Cauchy. ∃ n a b {\displaystyle R_{a}} ∑ < 3. 1 n ] ∈ ∑ n La série entière ), Début de la boite de navigation du chapitre, fin de la boite de navigation du chapitre, Proposition : Dérivation d'une série entière, Proposition : Dérivation d'ordre supérieur d'une série entière, Proposition : Intégration d'une série entière, Propriétés usuelles des rayons de convergence, Définition formelle - rayon de convergence, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Série_entière/Propriétés&oldid=755454, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions, Ceci n'implique pas la convergence uniforme sur. n {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} b) Montrer que l’on a convergence normale si a > 1. c) Montrer que l’on n’a pas convergence uniforme si a ≤ 1. d) Montrer que l’on a convergence uniforme sur tout intervalle [s, +∞[, où s > 0. ℓ Chapitre 09 : Séries entières – Cours complet. ( z et : Soit z − ( ℓ z {\displaystyle R_{b}} n + {\displaystyle n\rightarrow +\infty } 2 Structure vectorielle. . La série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert ) Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. {\displaystyle \sum |a_{n}|R^{n}}